國中會考 108 年：數學考古題＆詳解！

國中會考數學詳解：文章前言

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國中教育會考：數學 108 參考答案

第一部分：選擇題

第二部分：非選擇題

1. （1）10
2. （2）不合理

2. （1）100 cm
3. （2）330 cm

國中教育會考：數學 108 試題詳解

第一部分：選擇題

1. 算式 − $\frac{\mathrm{ 5 }}{\mathrm{ 3 }}$ − ( − $\frac{\mathrm{ 1 }}{\mathrm{ 6 }}$ ) 之值為何？
2. （A）− $\frac{\mathrm{ 3 }}{\mathrm{ 2 }}$
3. （B）− $\frac{\mathrm{ 4 }}{\mathrm{ 3 }}$
4. （C）− $\frac{\mathrm{ 11 }}{\mathrm{ 6 }}$
5. （D）− $\frac{\mathrm{ 4 }}{\mathrm{ 9 }}$
6. 解答：A。
7. 詳解：
8. $\text{− }\frac{\mathrm{ 5 }}{\mathrm{ 3 }}$ + $\frac{\mathrm{ 1 }}{\mathrm{ 6 }}$（負負得正）
   $\text{= }\frac{\mathrm{-\; 10\; ＋\; 1}}{6}\text{（通分）}$
   $\text{= }\frac{\mathrm{ 9 }}{\mathrm{ 6 }}\text{（約分）}$
   $\text{= − }\frac{\mathrm{ 3 }}{\mathrm{ 2 }}$

2. 某城市分為南、北兩區，圖（一）為 105 年到 107 年該城市兩區的人口數量長條圖。根據圖（一）判斷該城市的總人口數量，從 105 年到 107 年的變化情形為下列何者？
3. （A）逐年增加
4. （B）逐年減少
5. （C）先增加，再減少
6. （D）先減少，再增加

• 解答：A。
• 詳解：由圖可見，105 年到 107 年的長條都一年比一年長，除了南區的 107 年是比 106 年的少，但相較北區在 106 年到 107 年的成長，是大於南區的 106 年到 107 年的縮減，所以整體而言是逐年增加。

3. 計算 ( 2x − 3 )( 3x + 4 ) 的結果，與下列哪一個式子相同？
4. （A）− 7x + 4
5. （B）− 7x − 12
6. （C）6x² − 12
7. （D）6x² − x − 12

• 解答：D。
• 詳解：6x² ＋ 8x − 9x − 12 ＝ 6x² − x − 12

4. 圖（二）的直角柱由 2 個正三角形底面和 3 個矩形側面組成，其中正三角形面積為 a，矩形面積為 b。若將 4 個圖（二）的直角柱緊密堆疊成圖（三）的直角柱，則圖（三）中直角柱的表面積為何？
5. （A）4a＋2b
6. （B）4a＋4b
7. （C）8a＋6b
8. （D）8a＋12b

• 解答：C。
• 詳解：疊一起後，數一數可知，正三角形面積有 8 個，矩形面積有 6 個，所以圖（三）的表面積為 8a + 6b。

5. 若 √44 ＝2√a，√54＝3√b，則 a＋b 之值為何？
6. （A）13
7. （B）17
8. （C）24
9. （D）40

• 解答：B。
• 詳解：
• √44＝√(4 x 11)＝2√11，所以 a＝11。
  √54＝√(9 x 6)＝3√6，所以 b＝6。
  所以，a＋b＝17。
  

6. 民國 106 年 8 月 15 日，大潭發電廠因跳電導致供電短少約 430 萬瓩，造成全臺灣多處地方停電。已知 1 瓩等於 1 千瓦，求 430 萬瓩等於多少瓦？
7. （A）4.3 × 10⁷
8. （B）4.3 × 10⁸
9. （C）4.3 × 10⁹
10. （D）4.3 × 10¹º

• 解答：C。
• 詳解：
• 430 萬瓩
  ＝4,300,000 瓩
  ＝4,300,000 千瓦
  ＝4,300,000,000 瓦
  所以，4,300,000,000＝4.3 x 10⁹。

7. 圖（四）的坐標平面上有原點 O 與 A、B、C、D 四點。若有一直線 L 通過點（−3,4 ）且與 y 軸垂直，則 L 也會通過下列哪一點？
8. （A）A
9. （B）B
10. （C）C
11. （D）D

• 解答：D。
• 詳解：由下圖可知答案為（D）D。

8. 若多項式 5x²＋17x − 12 可因式分解成 ( x＋a )( bx＋c )，其中 a、b、c 均為整數，則 a＋c 之值為何？
9. （A）1
10. （B）7
11. （C）11
12. （D）13

• 解答：A。
• 詳解：
• 5x       −3
        ⤫
   x          4
  所以，5x²＋17x − 12＝( x＋4 )( 5x−3 )
  a＝4、b＝5、c＝−3
  a＋c＝1

9. 公園內有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成。圖（五）表示此步道的地標排列方式，其中正方形地磚為連續排列且總共有 40 個。求步道上總共使用多少個三角形地磚？
10. （A）84
11. （B）86
12. （C）160
13. （D）162

• 解答：A。
• 詳解：
• 2 ×（40＋1）＋2
  ＝82＋2
  ＝84
  

10. 數線上有 O、A、B、C 四點，各點位置與各點所表示的數如圖（六）所示。若數線上有一點 D，D 點所表示的數為 d，且｜d − 5｜＝｜d − c｜，則關於 D 點的位置，下列敘述何者正確？
11. （A）在 A 的左邊
12. （B）介於 A、C 之間
13. （C）介於 C、O 之間
14. （D）介於 O、B 之間

• 解答：D。
• 詳解：｜d−5｜=｜d−c｜，代表的是 d 到 5 的距離＝d 到 c 的距離，d 必介於 5 跟 c 之間，而 C 又較靠近 O（0），所以答案是（D）介於 O、B 之間。

11. 如圖（七），將一長方形紙片沿著虛線剪成兩個全等的梯形紙片。根據圖中標示的長度與角度，求梯形紙片中較短的底邊長度為何？
12. （A）4
13. （B）5
14. （C）6
15. （D）7

• 解答：C。
• 詳解：由圖可知答案為（C）6。

12. 阿慧在店內購買兩種蛋糕當伴手禮，圖（八）為蛋糕的價目表。已知阿慧購買 10 盒蛋糕，花費的金額不超過 2500 元。若他將蛋糕分給 75 位同事，每人至少能拿到一個蛋糕，則阿慧花多少元購買蛋糕？
13. （A）2150
14. （B）2250
15. （C）2300
16. （D）2450

• 解答：C。
• 詳解：
• 令桂圓蛋糕買 x 盒、金棗蛋糕買 y 盒。
  x＋y＝10
  350×200y ≤ 2500
  12x＋6y ≥ 75
  

• x＝3、y＝7
  共花 350×3＋200×7＝2450。

13. 如圖（九），∆ABC 中，D 點在 BC 上，將 D 點分別以 AB、AC 為對稱軸，畫出對稱點 E、F，並連接 AE、AF。根據圖中標示的角度，求∠EAF 的度數為何？
14. （A）113
15. （B）124
16. （C）129
17. （D）134

• 解答：D。
• 詳解：

• ∠EAF＝2×∠BAC
  ∠BAC＝180−62−51＝67
  所以，∠EAF＝2×67＝134。

14. 箱子內裝有 53 顆白球及 2 顆紅球，小芬打算從箱子內抽球，以每次抽出一球後將球再放回的方式抽 53 次球。若箱子內每顆球被抽到的機會相等，且前 52 次中抽到白球 51 次及紅球 1 次，則第 53 次抽球時，小芬抽到紅球的機率為何？
15. （A）1/2
16. （B）1/3
17. （C）2/53
18. （D）2/55
19. 解答：D。
20. 詳解：每次抽時都有 55 顆，而紅球有 2 顆，所以抽到紅球的機率是 2/55。

15. 如圖（十），∆ABC 中，AC＝BC＜AB。若 ∠1、∠2 分別為 ∠ABC、∠ACB 的外角，則下列角度關係何者正確？
16. （A）∠1＜∠2
17. （B）∠1＝∠2
18. （C）∠A＋∠2＜180º
19. （D）∠A＋∠1＞180º

• 解答：C。
• 詳解：大邊對大角，小邊對小角。

• （A）因 ∠B＞∠C，所以 ∠1＜∠2
  （B）∠1＝∠2
  （C）因 ∠2＋∠C＝180，而 ∠A＞∠C，所以 ∠A＋∠2＞180
  （D）因 ∠1＋∠B＝180，而 ∠A＝∠B，所以 ∠A＋∠1＝180

16. 小涵與阿嘉一起去咖啡店購買同款咖啡豆，咖啡豆每公克的價格固定，購買時自備容器則結帳金額再減 5 元。若小涵購買咖啡豆 250 公克且自備容器，需支付 295 元；阿嘉購買咖啡豆 x 公克但沒有自備容器，需支付 y 元，則 y 與 x 的關係式為下列何者？
17. （A）y＝295/250x
18. （B）y＝300/250x
19. （C）y＝295/250x＋5
20. （D）y＝300/250x＋5
21. 解答：B。
22. 詳解：
23. 咖啡每克為（295＋5）÷ 250 元 => 300/250（元/克）
    所以買 x 克無自備容器為 y 元 =>（300/250）x = y
    所以答案是（B）y ＝（300/250）x。

17. 如圖（十一），將一張面積為 14 的大三角形紙片沿著虛線剪成三張小三角形紙片與一張平行四邊形紙片。根據圖中標示的長度，求平行四邊形紙片的面積為何？
18. （A）21/5
19. （B）42/5
20. （C）24/7
21. （D）48/7

• 解答：D。
• 詳解：
• 面積 => 上小三角形：下梯形＝3²：7²＝9：49
  下梯形面積＝14×（1−9/49）＝80/7
  （3＋7）高/2＝80/7，高＝16/7
  所以平行四邊形面積 ＝ 3 × 16/7 ＝ 48/7

18. 圖（十二）的摩天輪上以等間隔的方式設置 36 個車廂，車廂依順時針方向分別編號為 1 號到 36 號，且摩天輪運行時以逆時針方向等速旋轉，旋轉一圈花費 30 分鐘。若圖（十三）表示 21 號車廂運行到最高點的情形，則此時經過多少分鐘後，9 號車廂才會運行到最高點？
19. （A）10
20. （B）20
21. （C）15/2
22. （D）45/2

• 解答：B。
• 詳解：
• 30 分鐘 / 36 個車廂 => 5 分鐘 / 6 個車廂
  從 21 號到 9 號車廂會過 => 36−21＋9＝24 個車廂
  所以須經 5×4＝20 分鐘。

19. 如圖（十四），直角三角形 ABC 的內切圓分別與 AB、BC 相切於 D 點、E 點。根據圖中標示的長度與角度，求 AD 的長度為何？
20. （A）3/2
21. （B）5/2
22. （C）4/3
23. （D）5/3

• 解答：D。
• 詳解：

• 面積：5（x＋1）/2＝（2x＋10）/2
  5x＋5＝2x＋10
  3x＝5
  所以，線段AD＝5/3

20. 某旅行團到森林遊樂區參觀，表（一）為兩種參觀方式與所需的纜車費用。已知旅行團的每個人皆從這兩種方式中選擇一種，且去程有 15 人搭乘纜車，回程有 10 人搭乘纜車。若他們纜車費用的總花費為 4100 元，則此旅行團共有多少人？
21. （A）16
22. （B）19
23. （C）22
24. （D）25

• 解答：A。
• 詳解：
• 令去回皆搭纜車有 x 人，去程單程有 y 人，回程單程有 z 人：
  x＋y＝15、x＋z＝10、300x＋200（y＋z）＝4100
  解為：x＝9、y＝6、z＝1
  所以，共 9＋6＋1＝16 人。

21. 小宜跟同學在某餐廳吃飯，圖（十五）為此餐廳的菜單。若他們所點的餐點總共為 10 份義大利麵，x 杯飲料，y 份沙拉，則他們點了幾分 A 餐？
22. （A）10 − x
23. （B）10 − y
24. （C）10 − x＋y
25. （D）10 − x − y

• 解答：A。
• 詳解：
• 義大利麵：A＋B＋C＝10
  飲料：B＋C＝x
  沙拉：C＝y
  所以，B＝x−y，A＝10 − x

22. 若正整數 a 和 420 的最大公因數為 35，則下列敘述何者正確？
23. （A）20 可能是 a 的因數，25 可能是 a 的因數
24. （B）20 可能是 a 的因數，25 不可能是 a 的因數
25. （C）20 不可能是 a 的因數，25 可能是 a 的因數
26. （D）20 不可能是 a 的因數，25 不可能是 a 的因數

• 解答：C。
• 詳解：35＝5×7，如果 20 要是 a 的因數，圖中 a 的下面就必須有 4，但如果有 4，短除法就能與 12 再繼續除，最大公因數就不會是 35 了，所以 20 不可能是 a 的因數。35 中的因數 5 與圖中 a 的下面的 5 ，就能組成因數 25 ，也無法與 12 繼續做短除法，所以 25 可能是 a 的因數。

23. 如圖（十六），有一三角形 ABC 的頂點 B、C 皆在直線 L 上，且其內心為 I。今固定 C 點，將此三角形依順時針方向旋轉，使得新三角形 A'B'C' 的頂點 A' 落在 L 上，且其內心為 I'。若 ∠A＜∠B＜∠C，則下列敘述何者正確？
24. （A）IC 和 I'A' 平行，II' 和 L 平行
25. （B）IC 和 I'A' 平行，II' 和 L 不平行
26. （C）IC 和 I'A' 不平行，II' 和 L 平行
27. （D）IC 和 I'A' 不平行，II' 和 L 不平行

• 解答：C。
• 詳解：因為 ∠C ≠ ∠A'，所以線段IC 和線段I'A' 不平行。內心至各邊的距離皆為半徑（且垂直）。三角形不變，內心半徑也不變，所以線段II' 和線段 L 平行。

24. 圖（十七）表示 A、B、C、D 四點在圓 O 上的位置，其中 AD＝180º，且 AB＝BD，BC＝CD。若阿超在 AB 上取一點 P，在 BD 上取一點 Q，使得 ∠APQ＝130º，則下列敘述何者正確？
25. （A）Q 點在 BC 上，且 BQ＞QC
26. （B）Q 點在 BC 上，且 BQ＜QC
27. （C）Q 點在 CD 上，且 CQ＞QD
28. （D）Q 點在 CD 上，且 CQ＜QD

• 解答：B。
• 詳解：由圖可知 Q 在 BC弧上，且 BQ弧＜QC弧。

25. 圖（十八）的 ∆ABC 中，AB＞AC＞BC，且 D 為 BC 上一點。今打算在 Ab 上找一點 P，在 AC 上找一點 Q，使得 ∆APQ 與 ∆PDQ 全等，以下是甲、乙兩人的作法：
    （甲）連接 AD，作 AD 的中垂線分別交 AB、AC 於 P 點、Q 點，則 P、Q 兩點極為所求
    （乙）過 D 作與 AC 平行的直線交 AB 於 P 點，過 D 作與 AB 平行的直線交 AC 於 Q 點，則 P、Q 兩點即為所求
    對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
26. （A）兩人皆正確
27. （B）兩人皆錯誤
28. （C）甲正確，乙錯誤
29. （D）甲錯誤，乙正確

• 解答：A。
• 詳解：

• （甲）由圖可知，邊角都完全相等

• （乙）平行四邊形對角線會分成兩全等三角形
• 所以答案是（A）兩人皆正確。

26. 如圖（十九），坐標平面上有一頂點為 A 的拋物線，此拋物線與方程式 y＝2 的圓形交於 B、C 兩點，且 ∆ABC 為正三角形。若 A 點坐標為（ −3,0 ），則此拋物線與 y 軸的交點坐標為何？
27. （A）（ 0 , 9/2 ）
28. （B）（ 0 , 27/2 ）
29. （C）（ 0 , 9 ）
30. （D）（ 0 , 18 ）

• 解答：B。
• 詳解：頂點 A（−3,0）、過 B（−4,2）、C（−2,2），拋物線方程式為 y＝a（x＋3）^2，代 B、C 其中一點，2＝a，所以拋物線方程式：y＝2（x＋3）^2，與 y 軸交點，x＝0、y＝18，（D）（0,18）

第二部分：非選擇題

1. 市面上販售的防曬產品標有防曬係數SPF，而其對抗紫外線的防護率算法為
   防護率＝（SPF−1）／SPF × 100%，其中 SPF ≥ 1。
   請回答下列問題：
   （1）廠商宣稱開發出防護率 90% 的產品，請問該產品的 SPF 應標示為多少？
   （2）某防曬產品文宣內容如圖（二十）所示。

• 請根據 SPF 與防護率的轉換公式，判斷此文宣內容是否合理，並詳細解釋或完整寫出你的理由。
• 解答＆詳解：

• （1）90%＝（SPF−1）/SPF×100%
• (SPF−1)/SPF＝0.9
  SPF−1＝0.9SPF
  所以 SPF＝10
• （2）第一代 SPF＝25，防護率＝（25−1）/25×100%＝96%
• 第二代 SPF＝50，防護率＝（50−1）/50×100%＝98%
  所以判斷此文宣內容不合理，因為第二代並非比第一代多一倍的防護率，而是 98/96＝49/48，1 點多倍。

2. 在公園有兩座垂直於水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱後面有一堵與地面互相垂直的牆，且圓柱與牆的距離皆為 120 公分。敏敏觀察到高度 90 公分矮圓柱的影子落在地面上，其影長為 60 公分；而高圓柱的部分影子落在牆上，如圖（二十一）所示。

• 已知落在地面上的影子皆與牆面相互垂直，並視太陽光為平行光，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請回答下列問題：
  （1）若敏敏的身高為 150 公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長為多少公分？
  （2）若同一時間量得高圓柱落在牆上的影長為 150 公分，則高圓柱的高度為多少公分？請詳細解釋或完整寫出你的解題過程，並求出答案。
• 解答＆詳解：
• （1）

• 由圖可知，物高：影長 = 3：2
  所以身高150cm，影長為 2 x 50 = 100（cm）
• （2）

• 因同一時間，物高：影長必固定為 3：2，
  所以在地面的影子 120 cm 對應的物長為 180 cm，加上牆上的影長就是高圓柱的高，180＋150 ＝ 330（cm）